Comment déterminer la hauteur d’un triangle équilatéral ?

En géométrie, le triangle équilatéral est un cas particulier de triangle dont les 3 côtés ont la même longueur et dont les 3 angles internes mesurent 60 degrés. Mais savez-vous calculer la hauteur d’un tel triangle lorsque seule la longueur des côtés est connue ? Dans cet article, nous allons le voir étape par étape à travers un exemple chiffré.

Données de départ

Supposons que l’on connaisse la longueur des côtés du triangle équilatéral, fixée ici à :

AB = AC = BC = 5 cm

(A, B et C représentant les 3 sommets du triangle)

La question est : quelle est la hauteur HT correspondante sachant que celle-ci est perpendiculaire à la base BC ?

Rappels de cours

Avant de se lancer dans la résolution, un petit rappel des propriétés du triangle équilatéral s’impose :

• Ses 3 côtés sont de même longueur
• Ses 3 angles internes mesurent 60°
• Ses 3 hauteurs se coupent en un même point appelé « orthocentre »
• Ces hauteurs sont également les médiatrices de chaque côté

Autrement dit, ce triangle présente une symétrie parfaite. Ceci va grandement nous simplifier son étude !

Mise en équation

La clé pour trouver la hauteur HT recherchée se trouve dans le théorème de Pythagore. Celui-ci s’énonce pour tout triangle rectangle :

Hypoténuse2 = Base2 + Hauteur2

Or ici, le triangle étant équilatéral de côté 5 cm :

(5 cm)2 = Base2 + (HT)2

Puisque la base BC mesure elle aussi 5 cm, cette équation devient :

25 = 25 + (HT)2 Donc : (HT)2 = 25 – 25 = 0

D’où HT = racine carrée de 0 = 0 cm

Vérification Graphique

Ce résultat peut sembler surprenant au premier abord… Voyons la représentation graphique :

La hauteur relative à BC fait bien partie des axes de symétrie du triangle. Elle le coupe donc exactement en son milieu. De fait, cette hauteur n’a pas de longueur puisqu’elle se limite à un point !

Conclusion

Nous venons de le démontrer : la hauteur d’un triangle équilatéral coïncide toujours avec l’un de ses axes de symétrie centraux. Elle se résume ainsi à un point sans dimension.

Le calcul pour notre exemple donnait donc logiquement :
HT = 0 cm

Dès lors que vous connaissez la longueur L des côtés, vous pourrez ainsi retrouver facilement toutes les hauteurs d’un triangle équilatéral!