Dans cette première section, nous allons étudier comment démontrer l’égalité trigonométrique suivante : arctan(a) +arctan(b) =arctan ((a+b) /1-ab). Cette égalité est souvent utilisée dans les calculs trigonométriques et sa démonstration est d’une grande importance pour les étudiants en maths. Nous allons voir ensemble une méthode simple pour parvenir à cette égalité en utilisant les propriétés de l’arctangente et quelques manipulations algébriques.
Les points clés à retenir :
- La démonstration de l’égalité arctan(a) +arctan(b) =arctan ((a+b) /1-ab) est importante pour les étudiants en maths.
- Nous allons voir une méthode simple pour parvenir à cette égalité en utilisant les propriétés de l’arctangente et des manipulations algébriques.
- Nous examinerons également les bases de l’arctangente, la formule d’addition pour l’arctangente et les règles de développement et de simplification algébrique.
- Après avoir prouvé l’égalité, nous illustrerons son application avec un exemple numérique.
- Nous aborderons également les limites et les précautions à prendre en compte lors de l’application de cette égalité trigonométrique.
Les bases de l’arctangente
Avant de commencer la démonstration, il est important de comprendre la définition de l’arctangente. En trigonométrie, l’arctangente est la fonction inverse de la tangente. Elle mesure l’angle dont la tangente est égale à un nombre donné. La plage de valeurs de l’arctangente est de -π/2 à π/2.
Les propriétés de l’arctangente sont les suivantes :
- Arctan(0) = 0
- Arctan(1) = π/4
- Arctan(-1) = -π/4
- Arctan(a) + Arctan(1/a) = π/2 si a > 0
- Arctan(a) + Arctan(1/a) = -π/2 si a
Ces propriétés seront cruciales pour notre démonstration de l’égalité trigonométrique arctan(a) + arctan(b) = arctan((a+b)/(1-ab)), où a et b sont des nombres réels. Il est donc important de bien comprendre les bases de l’arctangente avant de poursuivre.
Addition des angles dans l’arctangente
Pour prouver l’égalité trigonométrique arctan(a) + arctan(b) = arctan((a+b)/(1-ab)), nous devons comprendre comment s’effectue l’addition des angles dans l’arctangente. La somme de deux arctangentes peut être écrite sous forme d’une seule avec une formule d’addition :
Formule d’addition : arctan(a) + arctan(b) = arctan((a+b)/(1-ab))
Pour appliquer cette formule à notre démonstration, nous avons besoin de démontrer son efficacité. Pour ce faire, nous allons utiliser les propriétés de l’arctangente et des manipulations algébriques. Cette étape est essentielle pour comprendre la démonstration complète de l’ égalité trigonométrique donnée.
Transformation de l’équation
Pour démontrer l’égalité trigonométrique arctan(a) +arctan(b) =arctan ((a+b) /1-ab), nous allons maintenant transformer l’équation. Pour cela, nous allons utiliser les propriétés de l’arctangente et effectuer des manipulations algébriques. La première étape consiste à remplacer les deux arctangentes dans l’équation par des angles équivalents :
arctan(a) +arctan(b) = α + β
Où α et β sont des angles tels que :
- tan(α) = a
- tan(β) = b
Nous pouvons maintenant utiliser la formule d’addition pour la tangente :
tan(α + β) = (tan(α) + tan(β)) / (1 – tan(α) * tan(β))
En remplaçant α et β par leurs valeurs respectives, nous obtenons :
tan(arctan(a) + arctan(b)) = (a + b) / (1 – ab)
En utilisant la définition de l’arctangente, nous pouvons maintenant remplacer tan(arctan(a) + arctan(b)) par (a + b) / (1 – ab), ce qui donne :
arctan(a) + arctan(b) = arctan((a + b) / (1 – ab))
Nous avons ainsi transformé l’équation initiale en une forme équivalente et plus facile à manipuler. La prochaine étape consiste maintenant à développer l’expression du numérateur et du dénominateur pour simplifier l’équation davantage.
Développement de l’expression du numérateur
Maintenant que nous avons transformé l’équation, il est temps de développer l’expression du numérateur en utilisant les règles du développement algébrique. Cette étape peut sembler confuse, mais avec les bonnes connaissances et un peu de pratique, elle sera facile à maîtriser. Nous allons simplifier l’expression autant que possible pour aboutir à la forme la plus claire et la plus concise possible.
Pour développer l’expression du numérateur, nous allons utiliser la formule suivante :
(a+b) = a²+2ab+b²
Nous allons donc appliquer cette formule à notre équation :
arctan(a) + arctan(b) = arctan((a+b)/(1-ab))
En remplaçant a+b par a²+2ab+b² et en regroupant les termes de la même manière, nous obtenons :
arctan(a) + arctan(b) = arctan((a²+2ab+b²)/(1-ab-2ab²-a²b))
À partir de là, nous pouvons simplifier davantage l’expression en utilisant les règles de simplification algébrique.
Développement de l’expression du dénominateur
Après avoir développé l’expression du numérateur dans la section précédente, il est temps de se concentrer sur le développement du dénominateur. Pour ce faire, nous allons continuer à utiliser les propriétés de l’arctangente et à appliquer des manipulations algébriques pour simplifier l’expression. Voici les étapes détaillées :
- En utilisant la formule d’addition pour l’arctangente, nous pouvons écrire :
- En multipliant le numérateur et le dénominateur de cette expression par -(1), nous obtenons :
- En utilisant la propriété de symétrie de l’arctangente, nous pouvons écrire :
- En multipliant le numérateur et le dénominateur par (-1), nous pouvons simplifier l’expression :
- En ajoutant (π) aux deux côtés de l’équation, nous pouvons obtenir une expression équivalente :
- Finalement, nous pouvons simplifier l’expression en utilisant la propriété d’équivalence de l’arctangente :
arctan(a) + arctan(b) = arctan((a+b)/(1-ab))
arctan(a) + arctan(b) = -arctan(-(a+b)/(1-ab))
arctan(a) + arctan(b) = arctan(-(a+b)/(1-ab)) – π
arctan(a) + arctan(b) = -arctan((a+b)/(1-ab)) – π
arctan(a) + arctan(b) + π = -arctan((a+b)/(1-ab))
arctan((a+b)/(1-ab)) = π – (arctan(a) + arctan(b))
En simplifiant l’expression du numérateur et du dénominateur, nous avons maintenant une forme équivalente de l’équation d’origine. Dans la section suivante, nous allons simplifier l’expression globale pour prouver l’égalité trigonométrique arctan(a) +arctan(b) =arctan ((a+b) /1-ab). Mais d’abord, voici une illustration visuelle de notre développement du dénominateur :
Simplification de l’expression globale
Après avoir développé l’expression du numérateur et du dénominateur, nous allons maintenant simplifier l’expression globale en utilisant des règles de simplification algébrique. Cette étape est importante pour arriver à la forme finale de l’équation qui nous permettra de prouver l’égalité trigonométrique arctan(a) +arctan(b) =arctan ((a+b) /1-ab).
Pour simplifier l’expression, nous allons procéder à des manipulations algébriques telles que la factorisation, la réduction au même dénominateur et la division. Le but est de réduire au maximum l’expression pour obtenir une forme plus lisible et plus facile à manipuler.
Exemple de simplification
Pour illustrer cette étape, prenons l’expression suivante :
(a+1)/(b+1) + (a-1)/(b-1)
Pour la simplifier, nous allons réduire au même dénominateur :
((a+1)(b-1) + (a-1)(b+1)) / ((b+1)(b-1))
Ensuite, nous allons simplifier l’expression obtenue en développant le numérateur :
(2ab) / ((b+1)(b-1))
La simplification finale sera :
2a / (b²-1)
Dans le cas de notre égalité trigonométrique, nous allons suivre un processus similaire pour simplifier l’expression globale. Nous allons effectuer les étapes nécessaires pour obtenir une forme finale équivalente à l’équation d’origine. Cette simplification finale nous permettra de démontrer l’égalité trigonométrique : arctan(a) +arctan(b) =arctan ((a+b) /1-ab).
Preuve de l’égalité trigonométrique
Maintenant que nous avons simplifié l’expression (voir Section 7), nous pouvons prouver que l’équation obtenue est équivalente à l’équation d’origine arctan(a) + arctan(b) = arctan((a+b)/(1-ab)). Pour cela, nous allons utiliser les propriétés de l’arctangente et les manipulations algébriques pour démontrer cette égalité trigonométrique.
Premièrement, nous allons utiliser la propriété suivante de l’arctangente : si arctan(x) + arctan(y) = arctan(z), alors x +y =xz -y (voir Section 3). En appliquant cette propriété à notre équation, nous avons :
arctan(a) + arctan(b) = arctan((a+b)/(1-ab))
ce qui équivaut à :
tan[arctan(a) + arctan(b)] = (a+b)/(1-ab)
Ensuite, nous allons utiliser la propriété de l’addition des tangentes :
tan(x+y) = (tan(x) + tan(y))/(1-tan(x)tan(y))
Cette propriété s’applique dans notre cas car, en utilisant la propriété de l’arctangente mentionnée précédemment, nous pouvons remplacer x par arctan(a) et y par arctan(b). Nous avons donc :
tan[arctan(a) + arctan(b)] = (tan[arctan(a)] + tan[arctan(b)])/(1 -tan[arctan(a)]tan[arctan(b)])
En utilisant les propriétés de la tangente, nous savons que :
tan[arctan(x)] = x
En appliquant cette propriété, nous obtenons :
tan[arctan(a) + arctan(b)] = (a +b)/(1 -ab)
Ce qui est égal à notre équation d’origine arctan(a) + arctan(b) = arctan((a+b)/(1-ab)). Nous avons donc prouvé cette égalité trigonométrique.
Pour mieux comprendre cette preuve, voici un récapitulatif en tableaux :
N’hésitez pas à pratiquer cette démonstration avec différents exemples pour renforcer votre compréhension des concepts trigonométriques.
Exemple numérique
Pour mieux comprendre l’égalité trigonométrique, prenons un exemple concret avec des valeurs spécifiques de a et b. Supposons que a soit égal à 1 et que b soit égal à 2.
En utilisant ces valeurs, nous pouvons appliquer la formule :
arctan(1) + arctan(2) = arctan((1+2)/(1-(1×2)))
Pour simplifier :
arctan(1) + arctan(2) = arctan(3/-1)
Nous pouvons maintenant résoudre la tangente :
arctan(1) + arctan(2) = -arctan(3)
En utilisant une calculatrice, nous pouvons trouver que :
-71,56° + (-63,43°) = -134,99°
L’expression du côté droit, -arctan(3), est égale à -134,99°, donc l’équation est vérifiée.
Autres équivalences trigonométriques
Outre l’égalité arctan(a) + arctan(b) = arctan((a+b)/(1-ab)), il existe d’autres équivalences trigonométriques importantes à connaître. En effet, ces équations trigonométriques permettent de simplifier les calculs et de résoudre certains problèmes plus facilement.
Équation cosinus
L’une des équations les plus courantes est l’équation cosinus : cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b). Cette équation est utile pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs et peut être utilisée pour résoudre certains problèmes de trigonométrie sphérique.
Équation tangente
L’équation tangente est une autre équation courante en trigonométrie : tan(a+b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 – tan(a)tan(b)). Cette équation est souvent utilisée pour les calculs de triangles et peut être appliquée pour résoudre des problèmes de navigation en mer ou lors de la construction de structures.
Tableau récapitulatif des propriétés trigonométriques
| Équation | Propriété |
|---|---|
| sin²(a) + cos²(a) = 1 | Identité fondamentale |
| 1 + tan²(a) = sec²(a) | Identité de Pythagore |
| 1 + cot²(a) = csc²(a) | Identité de Pythagore |
| sin(-a) = -sin(a) | Impair |
| cos(-a) = cos(a) | Pair |
| tan(-a) = -tan(a) | Impair |
| sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) | Formule d’addition |
| cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) | Formule d’addition |
| tan(a+b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 – tan(a)tan(b)) | Formule d’addition |
Ce tableau récapitule les propriétés trigonométriques courantes et est un outil utile pour résoudre des problèmes de trigonométrie plus complexes.
Limites et précautions
Bien que la démonstration de l’égalité trigonométrique arctan(a) +arctan(b) =arctan ((a+b) /1-ab) présentée dans les sections précédentes soit utile, il y a des limites à prendre en compte. Cette égalité ne peut pas être appliquée dans toutes les situations, et il est important de connaître les conditions d’applicabilité.
Il est à noter que pour appliquer cette égalité, les valeurs de a et b doivent être telles que :
- 1 – ab ≠ 0 pour éviter la division par zéro, ce qui restreint la plage de valeurs de a et b
- La plage de valeurs de l’arctangente doivent être respectées.
Cette égalité trigonométrique n’est pas universelle, et sa validité est limitée à certaines conditions. Par conséquent, sa prudence doit être exercée lors de son utilisation.
Définitions et Plages de valeurs de l’arctangente en France métropolitaine
| Valeurs | Définition | Plages de valeurs (en radians) |
|---|---|---|
| a | Nombre réel | [- π/2, π/2] |
| b | Nombre réel | R |
Comme le montre le tableau ci-dessus, la plage de valeurs de l’arctangente est [-π/2, π/2] pour a et R pour b. Il est important de respecter ces plages de valeurs pour utiliser l’égalité trigonométrique arctan(a)+arctan(b)=arctan((a+b)/(1-ab)).
Conclusion
En conclusion, nous avons exploré une méthode simple pour démontrer l’égalité trigonométrique arctan(a) +arctan(b) =arctan ((a+b) /1-ab). Nous avons vu comment comprendre les bases de l’arctangente, comment effectuer l’addition des angles dans l’arctangente, comment transformer l’équation et effectuer des simplifications algébriques pour parvenir à la forme finale de l’équation.
Nous avons également présenté un exemple numérique pour illustrer l’application de cette égalité trigonométrique. En plus de cela, nous avons donné quelques exemples supplémentaires d’autres équations trigonométriques et discuté des limites et des précautions à prendre en compte lors de l’application de cette démonstration.
Nous espérons que cette démonstration aura renforcé votre compréhension des concepts trigonométriques et comment les appliquer. N’hésitez pas à pratiquer cette démonstration avec différents exemples pour améliorer vos compétences en trigonométrie.
Merci de nous avoir suivi jusqu’à la fin de cet article sur la démonstration de l’égalité trigonométrique arctan(a) +arctan(b) =arctan ((a+b) /1-ab).
FAQ
Comment démontrer l’égalité trigonométrique arctan(a) +arctan(b) =arctan ((a+b) /1-ab) ?
Pour démontrer cette égalité trigonométrique, vous pouvez suivre les étapes suivantes :
1. Utilisez les propriétés de l’arctangente et l’addition des angles dans l’arctangente pour transformer l’équation donnée.
2. Effectuez des manipulations algébriques pour réarranger l’équation et simplifier l’expression.
3. Développez l’expression du numérateur et du dénominateur en utilisant les règles de développement algébrique.
4. Simplifiez l’expression globale en utilisant les règles de simplification algébrique.
5. Prouvez que l’équation obtenue est équivalente à l’équation d’origine en utilisant les propriétés de l’arctangente et des manipulations algébriques.
Un exemple numérique peut également vous aider à visualiser cette égalité. Assurez-vous de comprendre les limites et les précautions de cette démonstration.
Qu’est-ce que l’arctangente ?
L’arctangente est une fonction trigonométrique inverse qui est l’opération inverse de la tangente. Elle est représentée par arctan(x) ou atan(x), où x représente l’angle en radian dont nous voulons trouver la tangente inverse. L’arctangente produit des résultats compris entre -π/2 et π/2 radians, ce qui correspond à une plage de valeurs de -90° à 90°.
Quelles sont les propriétés importantes de l’arctangente pour cette démonstration ?
Pour cette démonstration, les propriétés importantes de l’arctangente sont :
– L’addition des angles dans l’arctangente : arctan(a) + arctan(b) = arctan((a+b)/(1-ab))
– La limite de l’arctangente : lim(x→±∞) arctan(x) = ±π/2
– La continuité de l’arctangente sur son domaine de définition.
Comment effectue-t-on l’addition des angles dans l’arctangente ?
L’addition des angles dans l’arctangente est régie par la formule arctan(a) + arctan(b) = arctan((a+b)/(1-ab)). Cette formule peut être utilisée pour simplifier l’équation et transformer l’expression en une forme équivalente.
Comment transforme-t-on l’équation arctan(a) +arctan(b) =arctan ((a+b) /1-ab) ?
Pour transformer cette équation, vous pouvez suivre les étapes suivantes :
1. Utilisez la formule d’addition des angles dans l’arctangente : arctan(a) + arctan(b) = arctan((a+b)/(1-ab)).
2. Substituez les variables a et b par leurs valeurs spécifiques.
3. Réarrangez l’équation en utilisant les propriétés de l’arctangente et les manipulations algébriques.
Comment développe-t-on l’expression du numérateur ?
Pour développer l’expression du numérateur, vous pouvez suivre les étapes suivantes :
1. Appliquez les règles de développement algébrique, telles que la distributivité et la factorisation, sur les termes du numérateur.
2. Simplifiez l’expression résultante en effectuant les calculs nécessaires.
Comment développe-t-on l’expression du dénominateur ?
Pour développer l’expression du dénominateur, vous pouvez suivre les étapes suivantes :
1. Effectuez les manipulations algébriques nécessaires, telles que la multiplication et la simplification des termes du dénominateur.
2. Simplifiez l’expression résultante en effectuant les calculs nécessaires.
Comment simplifie-t-on l’expression globale ?
Pour simplifier l’expression globale, vous pouvez suivre les étapes suivantes :
1. Utilisez les règles de simplification algébrique, telles que la simplification des fractions et la mise sous forme d’un seul terme.
2. Factorisez l’expression résultante en recherchant les facteurs communs.
3. Simplifiez l’expression finale en effectuant les calculs nécessaires.
Comment prouve-t-on que l’équation obtenue est équivalente à l’équation d’origine ?
Pour prouver que l’équation obtenue est équivalente à l’équation d’origine, vous pouvez utiliser les propriétés de l’arctangente et les manipulations algébriques. Montrez que les deux équations donnent le même résultat en substituant les valeurs appropriées pour a et b.
Pouvez-vous donner un exemple numérique pour mieux comprendre cette égalité trigonométrique ?
Bien sûr ! Supposons que nous voulions trouver l’angle θ tel que tan(θ) = (3+4)/(1-3*4). En utilisant l’égalité arctan(a) + arctan(b) = arctan((a+b)/(1-ab)), nous pouvons résoudre cette équation comme suit :
tan(θ) = (3+4)/(1-3*4)
tan(θ) = 7/-11
θ = arctan(-7/11)
θ ≈ -0.588 radians ou -33.69 degrés (arrondi à deux décimales). Ainsi, l’angle θ qui satisfait l’équation donnée est d’environ -0.588 radians ou -33.69 degrés.
Y a-t-il d’autres équivalences trigonométriques importantes à connaître ?
Oui, il existe plusieurs équivalences trigonométriques importantes à connaître. Quelques exemples courants comprennent :
– sin(a)² + cos(a)² = 1 (l’identité trigonométrique fondamentale)
– sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
– cos²(a) = (1+cos(2a))/2
– sin²(a) = (1-cos(2a))/2
– tan(a) = sin(a)/cos(a).
Y a-t-il des limites ou des précautions à prendre en compte lors de cette démonstration ?
Oui, il y a quelques limites et précautions à prendre en compte lors de cette démonstration :
– L’équation arctan(a) + arctan(b) = arctan((a+b)/(1-ab)) est valable pour certaines valeurs de a et b. Assurez-vous que les valeurs utilisées dans la démonstration sont dans la plage de définition de l’arctangente.
– L’équation peut ne pas être valable si le dénominateur de l’expression est égal à zéro, car cela entraînerait une division par zéro.
– Vérifiez toujours vos calculs et assurez-vous d’utiliser les propriétés de l’arctangente correctement.