Calculateur de Dérivée Partielle
Résultat :
Maîtriser le calcul de dérivées partielles : exercices corrigés
Les dérivées partielles sont l’un des concepts clés en analyse mathématique, notamment dans des domaines comme la physique, la finance ou encore l’ingénierie. Cependant, leur compréhension théorique et leur mise en pratique à travers des applications concrètes ne sont pas toujours évidentes.
Afin de vous aider à mieux appréhender ces outils, j’ai rédigé une série d’exercices corrigés de A à Z portant sur le calcul de dérivées partielles. Au programme : rappels de cours, applications directes, cas concrets et astuces. Intéressons-nous à quelques exemples !
Exercice 1 : Position du problème
Soit la fonction f définie sur R2 par f(x,y) = x2 + 3xy + 2y. Calculer les dérivées partielles de f par rapport à x et à y.
Correction :
Pour calculer une dérivée partielle, on dérive la fonction par rapport à une seule variable, en considérant les autres comme des constantes.
Ici, ∂f/∂x = 2x + 3y (on dérive x2 : 2x et 3xy : 3y)
Et ∂f/∂y = 3x + 2
La méthode consiste à traiter x comme constante pour dériver par rapport à y, et vice-versa.
Exercice 2 : Application à la physique
Soit l’équation S = 1⁄2 gt2 exprimant la position S d’un mobile en fonction du temps t et de l’accélération de la pesanteur g. Calculer les 2 dérivées partielles de S.
Correction :
∂S/∂t = gt (on dérive t2 : 2t en conservant g constant)
∂S/∂g = 1⁄2 t2 (en dérivant 1⁄2gt2, g devient la seule variable)
Cet exercice montre comment les dérivées partielles permettent d’analyser isolément l’influence de chaque paramètre (ici t et g) sur la position S.
Exercice 3 : Fonctions de plusieurs variables
Soient f et g deux fonctions définies sur R2 par :
f(x,y) = x2 + xy + 3 et g(x,y) = 2x + y2
- Calculer ∂(f+g)/∂x et ∂(f+g)/∂y
- Calculer ∂(2f-g)/∂x
Correction :
- ∂f/∂x = 2x + y et ∂g/∂x = 2 Donc ∂(f+g)/∂x = 2x + y + 2
De même, ∂(f+g)/∂y = x + 2y
- ∂(2f)/∂x = 2*(∂f/∂x) = 4x + 2y (dérivée du produit par un scalaire) Et ∂(-g)/∂x = – ∂g/∂x = -2 Donc ∂(2f-g)/∂x = 4x + 2y – 2
On retrouve bien ici les propriétés de dérivation des fonctions composées.
Vous le constatez, avec de l’entraînement, le calcul dérivé partielle n’a plus vraiment de secret pour vous ! N’hésitez pas à tester vos connaissances sur d’autres exemples avant de passer à des cas réels.