Résolution de l’équation x^2 – 2x = 0

Dans cette section, nous allons expliquer comment résoudre l’équation quadratique x^2 – 2x = 0 étape par étape. Nous vous montrerons différentes méthodes pour trouver les racines de cette équation et comment utiliser le discriminant pour déterminer le nombre et la nature des solutions.

La résolution d’équations quadratiques est une compétence fondamentale en mathématiques qui peut être appliquée à de nombreux problèmes pratiques. En comprenant comment résoudre cette équation spécifique, vous acquérez une compétence précieuse qui peut être utilisée dans divers contextes, tels que la physique, l’économie et l’ingénierie.

Poursuivez votre lecture pour découvrir les différentes étapes de résolution de l’équation x^2 – 2x = 0 et pour acquérir une compréhension approfondie de ce processus mathématique essentiel.

Principales conclusions

• La résolution de l’équation quadratique x^2 – 2x = 0 est une compétence mathématique fondamentale.
• Il existe plusieurs méthodes pour résoudre cette équation, telles que la factorisation et l’utilisation du discriminant.
• La résolution d’équations quadratiques est utile dans de nombreux domaines de la vie quotidienne, tels que la physique et l’économie.
• La formule de résolution pour les équations à variable x peut être utilisée pour trouver les solutions finales.
• En comprenant comment résoudre cette équation spécifique, vous pouvez développer vos compétences en mathématiques et votre capacité à résoudre des problèmes complexes.

Équation quadratique et équation du second degré

Pour comprendre la résolution de l’équation x^2 – 2x = 0, il est important de connaître les concepts d’équation quadratique et d’équation du second degré.

Une équation quadratique est une équation polynomiale du second degré, c’est-à-dire une équation de la forme ax^2 + bx + c = 0, où a, b et c sont des constantes réelles ou complexes.

La forme générale d’une équation quadratique est ax^2 + bx + c = 0, avec les termes a, b et c correspondant respectivement aux coefficients du terme quadratique, linéaire et constant.

L’équation du second degré est un autre nom donné à une équation quadratique, car le terme quadratique est élevé à la puissance de 2.

Pour résoudre une équation quadratique ou du second degré, nous devons trouver les valeurs de x qui satisfont l’équation. Ces valeurs sont appelées racines ou solutions de l’équation.

Pour mieux visualiser les termes associés à chaque coefficient d’une équation quadratique, voici un exemple :

En comprenant la nature d’une équation quadratique ou du second degré et en identifiant les termes associés à chaque coefficient, nous sommes prêts à explorer différentes méthodes de résolution de l’équation x^2 – 2x = 0.

Méthode de factorisation pour résoudre une équation quadratique

La méthode de factorisation est une approche couramment utilisée pour résoudre des équations quadratiques. Elle est particulièrement utile lorsque l’équation peut être factorisée en un produit de deux expressions linéaires. Nous allons maintenant vous montrer comment appliquer cette méthode à l’équation quadratique x^2 – 2x = 0.

Pour factoriser cette équation, nous devons trouver deux expressions linéaires qui, lorsqu’elles sont multipliées, donnent l’expression x^2 – 2x. Nous pouvons commencer par identifier les facteurs communs :

En factorisant l’expression x^2 – 2x = 0, nous obtenons l’expression x(x – 2) = 0. Maintenant, nous pouvons écrire deux équations en égalant chaque facteur à zéro :

1. x = 0
2. x – 2 = 0

Pour trouver les solutions de l’équation, nous résolvons ces deux équations :

1. En résolvant l’équation x = 0, nous trouvons que x = 0 est une solution.
2. En résolvant l’équation x – 2 = 0, nous trouvons que x = 2 est une autre solution.

Par conséquent, les solutions de l’équation quadratique x^2 – 2x = 0 sont x = 0 et x = 2.

Exemple pratique :

Prenons un exemple concret pour illustrer cette méthode. Supposons que nous ayons l’équation quadratique 2x^2 – 5x = 0. Nous pouvons la factoriser comme suit :

Ainsi, les solutions de l’équation quadratique 2x^2 – 5x = 0 sont x = 0 et x = 5/2.

Utilisation du discriminant pour résoudre une équation quadratique

Le discriminant est un outil puissant pour résoudre des équations quadratiques. En utilisant la méthode du discriminant, nous pouvons déterminer les solutions d’une équation quadratique et comprendre leur nature et leur nombre.

Pour l’équation x^2 – 2x = 0, le discriminant se calcule en utilisant la formule Δ = b^2 – 4ac, où a, b et c sont les coefficients de l’équation quadratique.

Dans notre cas, l’équation x^2 – 2x = 0 peut être réécrite avec a = 1, b = -2 et c = 0. En substituant ces valeurs dans la formule du discriminant, nous obtenons :

Δ = (-2)^2 – 4 * 1 * 0

Δ = 4 – 0

Δ = 4

Pour interpréter le discriminant, nous utilisons les trois cas suivants :

• Si Δ > 0, il y a deux solutions distinctes pour l’équation quadratique.
• Si Δ = 0, il y a une solution unique (une racine double) pour l’équation quadratique.
• Si Δ

Dans notre cas, Δ = 4, ce qui signifie qu’il y a deux solutions distinctes pour l’équation x^2 – 2x = 0.

Pour trouver les solutions spécifiques, nous utilisons la formule x = (-b ± √Δ) / (2a).

En substituant les valeurs de notre équation, nous avons :

x = (-(-2) ± √4) / (2 * 1)

x = (2 ± 2) / 2

Les deux solutions sont donc :

x1 = (2 + 2) / 2 = 4 / 2 = 2

x2 = (2 – 2) / 2 = 0 / 2 = 0

Ainsi, les solutions de l’équation x^2 – 2x = 0 sont x1 = 2 et x2 = 0.

Dans cette image, nous pouvons voir une représentation graphique de l’équation x^2 – 2x = 0. Les solutions x1 = 2 et x2 = 0 correspondent aux points où la courbe de l’équation coupe l’axe x.

Formule de résolution pour équation à variable x

La résolution d’une équation à variable x peut être simplifiée en utilisant une formule de résolution générale. Cette formule nous permet de trouver les solutions d’une équation en substituant des valeurs spécifiques dans l’équation d’origine.

Pour l’équation x^2 – 2x = 0, la formule de résolution consiste à isoler x en combinant les termes de l’équation et à trouver les valeurs de x qui satisfont l’équation.

La formule de résolution pour cette équation est :

x = (-b ± √(b^2 – 4ac))/(2a)

Où a, b et c sont les coefficients de l’équation quadratique. En utilisant cette formule, nous pouvons trouver les solutions de l’équation x^2 – 2x = 0 en substituant a = 1, b = -2 et c = 0 dans la formule.

En utilisant la formule de résolution, nous pouvons obtenir les solutions de l’équation x^2 – 2x = 0 et déterminer si elles sont réelles ou non. Voici comment la formule de résolution est appliquée à cette équation :

1. Calculons le discriminant Δ = b^2 – 4ac.
2. Si Δ > 0, alors l’équation a deux solutions réelles distinctes.
3. Si Δ = 0, alors l’équation a une solution réelle double.
4. Si Δ < 0, alors l’équation n’a pas de solution réelle.

En utilisant ces étapes, nous pouvons résoudre efficacement l’équation x^2 – 2x = 0 et trouver ses solutions. L’image ci-dessous illustre graphiquement les différentes possibilités de solutions pour cette équation.

Valeurs de la formule de résolution pour l’équation x^2 – 2x = 0

La formule de résolution pour une équation à variable x est un outil précieux qui nous permet de trouver les solutions d’une équation quadratique. En utilisant cette formule et en suivant les étapes nécessaires, nous pouvons résoudre efficacement des équations telles que x^2 – 2x = 0 et trouver les valeurs de x qui satisfont l’équation.

Étape 1 – Simplification de l’équation

Dans cette étape, nous allons simplifier l’équation quadratique x^2 – 2x = 0 pour la rendre plus facile à résoudre. Pour ce faire, nous allons réarranger les termes de l’équation afin d’obtenir une forme standard.

Tout d’abord, nous allons mettre l’équation sous la forme ax^2 + bx + c = 0, où a, b et c représentent les coefficients respectifs de l’équation quadratique. Dans le cas de l’équation x^2 – 2x = 0, nous avons a = 1, b = -2 et c = 0.

En réarrangeant les termes, nous obtenons l’équation x^2 – 2x = 0 sous la forme standard suivante : x(x – 2) = 0.

Cette étape de simplification nous permet de mettre l’équation dans une forme plus facile à traiter, ce qui facilitera les prochaines étapes de résolution.

Maintenant que nous avons simplifié l’équation x^2 – 2x = 0, nous pouvons passer à la prochaine étape de résolution, qui consiste à utiliser la méthode de factorisation. Cette méthode nous permettra de trouver les racines de l’équation et de déterminer les valeurs de x pour lesquelles l’équation est satisfaite.

Étape 2 – Utilisation de la méthode de factorisation

Dans cette étape, nous allons utiliser la méthode de factorisation pour trouver les racines de l’équation quadratique x^2 – 2x = 0. La factorisation consiste à décomposer l’expression en un produit de facteurs qui sont ensuite égalés à zéro pour trouver les valeurs de x qui annulent l’équation.

Pour factoriser l’expression x^2 – 2x = 0, nous pouvons d’abord extraire x comme facteur commun :

x(x – 2) = 0

Ensuite, nous égalons chaque facteur à zéro :

x = 0 ou (x – 2) = 0

• Lorsque x = 0, l’équation est satisfaite. Donc, une racine de l’équation est x = 0.
• Lorsque (x – 2) = 0, nous résolvons cette équation pour trouver la deuxième racine :

Donc, la deuxième racine de l’équation est x = 2.

Ainsi, en utilisant la méthode de factorisation, nous avons trouvé que les zéros de l’équation quadratique x^2 – 2x = 0 sont 0 et 2. Ces solutions satisfont l’équation originale et peuvent être vérifiées en substituant les valeurs de x dans l’équation.

Étape 3 – Utilisation du discriminant

Dans cette étape, nous utilisons le discriminant pour déterminer le nombre et la nature des solutions de l’équation x^2 – 2x = 0.

Le discriminant est un outil mathématique essentiel pour résoudre les équations quadratiques. Il nous permet de déterminer si une équation a des solutions réelles, imaginaires ou s’il n’y a pas de solutions du tout.

Pour l’équation x^2 – 2x = 0, le discriminant (Δ) peut être calculé en utilisant la formule suivante :

Δ = b^2 – 4ac

où a, b et c sont les coefficients de l’équation quadratique ax^2 + bx + c = 0.

Dans notre cas, l’équation x^2 – 2x = 0 peut être réécrite comme x^2 – 2x + 0 = 0 avec a = 1, b = -2 et c = 0.

En substituant les valeurs dans la formule du discriminant, nous avons :

Δ = (-2)^2 – 4(1)(0) = 4 – 0 = 4

Le discriminant Δ est égal à 4 dans notre cas.

Pour interpréter le discriminant et déterminer les solutions :

• Si Δ > 0, l’équation a deux solutions réelles distinctes.
• Si Δ = 0, l’équation a une solution réelle unique.
• Si Δ

Dans notre cas, Δ = 4, ce qui signifie que l’équation x^2 – 2x = 0 a deux solutions réelles distinctes. Maintenant, nous pouvons passer à l’étape suivante pour trouver les valeurs spécifiques de x.

Discriminant et solutions de l’équation x^2 – 2x = 0

Maintenant que nous avons utilisé le discriminant pour déterminer la nature des solutions de l’équation x^2 – 2x = 0, nous pouvons passer à l’étape suivante pour trouver les valeurs spécifiques de x.

Étape 4 – Utilisation de la formule de résolution

Une fois que nous avons simplifié l’équation x^2 – 2x = 0, appliqué la méthode de factorisation et utilisé le discriminant pour déterminer le nombre de solutions, il est temps d’utiliser la formule de résolution pour trouver les solutions définitives.

La formule de résolution pour une équation quadratique ax^2 + bx + c = 0 est :

où Δ est le discriminant, a est le coefficient de x^2, b est le coefficient de x et c est le terme constant.

Pour résoudre l’équation x^2 – 2x = 0, nous avons :

• a = 1
• b = -2
• c = 0

En substituant ces valeurs dans la formule de résolution, nous pouvons calculer les solutions :

Calculons ces solutions :

Après simplification, nous obtenons :

Les solutions finales de l’équation x^2 – 2x = 0 sont :

Donc, les solutions de l’équation x^2 – 2x = 0 sont x = 2 et x = 0.

Exemples pratiques de résolution

Pour mieux comprendre les différentes étapes de résolution de l’équation quadratique x^2 – 2x = 0, examinons quelques exemples concrets:

Exemple 1:

Nous avons l’équation x^2 – 2x = 0. Pour résoudre cette équation, nous devons d’abord simplifier l’équation en réarrangeant les termes:

x(x – 2) = 0

Ainsi, nous avons deux possibilités pour trouver les valeurs de x. Soit x = 0, soit x – 2 = 0. En résolvant ces équations, nous obtenons:

x = 0 ou x = 2

Donc, les racines de l’équation x^2 – 2x = 0 sont x = 0 et x = 2.

Exemple 2:

Considérons l’équation x^2 – 2x – 15 = 0. Pour trouver les racines de cette équation, nous pouvons utiliser la méthode du discriminant:

Le discriminant (b^2 – 4ac) de cette équation est égal à (-2)^2 – 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64.

Puisque le discriminant est positif, nous avons deux solutions réelles distinctes:

x = (-(-2) + √64) / (2 * 1) = (2 + 8) / 2 = 10 / 2 = 5

ou

x = (-(-2) – √64) / (2 * 1) = (2 – 8) / 2 = -6 / 2 = -3

Donc, les racines de l’équation x^2 – 2x – 15 = 0 sont x = 5 et x = -3.

Exemple 3:

Supposons maintenant que nous ayons l’équation 2x^2 + x – 6 = 0. Pour résoudre cette équation, nous pouvons utiliser la méthode de factorisation:

2x^2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2) = 0

En utilisant le produit nul, nous obtenons deux équations:

2x – 3 = 0 => x = 3/2

x + 2 = 0 => x = -2

Donc, les racines de l’équation 2x^2 + x – 6 = 0 sont x = 3/2 et x = -2.

Ainsi, ces exemples pratiques nous montrent comment appliquer les différentes méthodes de résolution pour trouver les racines d’une équation quadratique. Il est essentiel de comprendre ces étapes afin de résoudre efficacement toute équation similaire.

Récapitulatif des méthodes

Dans cette section, nous récapitulons les différentes méthodes abordées pour résoudre l’équation x^2 – 2x = 0 et nous soulignons leurs avantages et inconvénients.

Méthode de factorisation pour équation quadratique

La méthode de factorisation est une approche couramment utilisée pour résoudre des équations quadratiques. Elle consiste à trouver les facteurs de l’expression quadratique et à les égaliser à zéro pour obtenir les solutions. Cette méthode est assez simple lorsque l’équation peut être facilement factorisée, mais elle peut devenir plus complexe lorsque les coefficients sont plus élevés ou lorsqu’il existe des termes supplémentaires.

Méthode du discriminant pour résoudre une équation quadratique

La méthode du discriminant est une autre approche largement utilisée pour résoudre des équations quadratiques. Le discriminant est calculé à partir des coefficients de l’équation et permet de déterminer le nombre et la nature des solutions. Si le discriminant est positif, l’équation a deux solutions réelles distinctes. S’il est nul, l’équation a une solution réelle double. Et s’il est négatif, l’équation n’a pas de solution réelle.

Pour l’équation x^2 – 2x = 0, voici un récapitulatif des méthodes et de leurs avantages et inconvénients :

Ce récapitulatif vous donne un aperçu des différentes approches pour résoudre l’équation x^2 – 2x = 0. La méthode de factorisation est plus adaptée lorsque l’équation peut être facilement factorisée, tandis que la méthode du discriminant est utile pour déterminer le nombre et la nature des solutions. Le choix de la méthode dépendra de la complexité de l’équation et de vos préférences personnelles.

Conclusion

En conclusion, la résolution de l’équation quadratique x^2 – 2x = 0 peut être accomplie en utilisant différentes méthodes telles que la factorisation, l’utilisation du discriminant et la formule de résolution. Ces méthodes nous permettent de trouver les solutions de cette équation de manière efficace et précise.

Il est important de comprendre les concepts de base de l’équation quadratique, tels que les termes associés aux coefficients et la signification du discriminant, pour pouvoir appliquer correctement ces méthodes. En utilisant ces connaissances, nous pouvons résoudre des équations quadratiques similaires et trouver les racines correspondantes.

La résolution de l’équation x^2 – 2x = 0 est une étape importante dans la résolution de problèmes mathématiques plus complexes. En maîtrisant ces techniques, nous développons notre compréhension des mathématiques et nous sommes mieux équipés pour résoudre des problèmes du monde réel.